ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz.

Transkript

1 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 1 ANAKÜTLE ORANININ (p GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE Her birii başarı olasılığı p ola birbiride bağımsız Beroulli deemeside öreklemdeki başarı oraıı ˆp x ile gösterelim. ˆp x ı sapmasız ve etki olduğuu daha öce göstermiştik. X r.d. deemedeki başarı sayısıı gösterirse, X Biom(,p ve E(X = p ve V ar(x = p(1 p. Öreklem başarı oraı ˆp x = X olduğuda E(ˆp x = p ve V ar = p(1 p/. Buları daha öceki derslerimizde görmüştük. Gözlem sayısı yeterice büyükse Z = yaklaşık olarak stadart ormal dağılır. ˆp x p p(1 p/ N(0,1 Acak aakütle oraı p bilimediğide bu ilişki doğruda kullaılamaz. YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 2 ANAKÜTLE ORANININ (p GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE Gözlem sayısı yeterice büyükse Z = ˆp x p p(1 p/ N(0,1 yaklaşık olarak stadart ormal dağılır.acak aakütle oraı p bilimediğide bu ilişki doğruda kullaılamaz. Öreklem büyükse, paydadaki p yerie ou tahmi edicisi ola ˆp x kullaılarak iyi bir yakısama elde edilebilir: p(1 p Öyleyse büyük öreklemlerde Z = ˆp x p / N(0,1

2 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 3 ANAKÜTLE ORANININ (p GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE p içi %100(1 α güve aralığı tahmi edicisi: 1 α = P( z α/2 < Z < z α/2 ( ˆp x p = P z α/2 < / < z α/2 ( = P z α/2 ( = P ˆp x z α/2 < ˆp x p < z α/2 < p < ˆp x + z α/2 Burada z α/2, P(Z > z α/2 = α/2 olmasıı sağlaya sayıdır. Belli bir öreklem gerçekleşmesie dayaa güve aralığı şöyle olur: ˆp x z α/2 < p < ˆp x + z α/2 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 4 NORMAL DAĞILMIŞ BİR ANAKÜTLENİN VARYANSININ (σ2 GÜVEN ARALIKLARI: Varyası σ 2 ola bir ormal aakütlede çekilmiş boyutlu bir öreklemde öreklem varyasıı s 2 x ile gösterirsek χ 2 1 = ( 1s2 x σ 2 rassal değişkei 1 serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımıa uyar. Aakütle varyasıı güve aralıklarıı hesaplamakta kullaacağımız tahmi ediciyi yukarıdaki ilişkide hareketle bulabiliriz. Buu içi ki-kare dağılımıı olasılıklarıı asıl hesapladığımızı hatırlayalım. ν serbestlik dereceli ki-kare dağılımıa uya bir rassal değişkei χ 2 ν ile gösterelim. χ 2 ν,α sayısı aşağıdaki eşitliği sağlar: P(χ 2 ν > χ 2 ν,α = α Öreği 5 s.d. ki-kare dağılımıda çekilmiş bir rassal değişkei 0.1 olasılıkla aşacağı sayı P(χ 2 5 > χ 2 5,0.1 = 0.1 χ 2 5,0.1 = 9.24 tür.

3 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 5 NORMAL DAĞILMIŞ BİR ANAKÜTLENİN VARYANSININ (σ2 GÜVEN ARALIKLARI: Bezer şekilde χ 2 ν,α/2 sayısı aşağıdaki eşitliği sağlar: P(χ 2 ν > χ 2 ν,α/2 = α 2 Ayrıca P(χ 2 ν > χ 2 ν,1 α/2 = 1 α 2 Burada hareketle P(χ 2 ν < χ 2 ν,1 α/2 = α 2 yazılabilir. Öyleyse P(χ 2 ν,1 α/2 < χ2 ν < χ 2 ν,α/2 = 1 α 2 α 2 = 1 α YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 6 ν serbestlik dereceli ki kare dagilimii olasilik yog.foks. α/2 1 α α/2 χ 2 ν,1 α/2 χ 2 ν,α/2 χ 2 ν

4 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 7 NORMAL DAĞILMIŞ BİR ANAKÜTLENİN VARYANSININ (σ2 GÜVEN ARALIKLARI: Öreği 10 s.d. ile ki-kare dağıla bir rassal değişkei aralarıda kalma olasılığı 0.90 ola bir çift sayı aradığımızı düşüelim. 1 α = 0.90, α = 0.1, Ki-kare olasılık tablosuda α 2 = 0.05, 1 α 2 = 0.95 P ( χ 2 10 > χ 2 10,0.05 = 0.05 = χ 2 10,0.05 = P ( χ 2 10 > χ 2 10,0.95 = 0.95 = χ 2 10,0.95 = 3.94 Öyleyse 1 α = P ( χ 2 10,0.95 < χ 2 10 < χ 2 10, = P ( 3.94 < χ 2 10 < YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 8 NORMAL DAĞILMIŞ BİR ANAKÜTLENİN VARYANSININ (σ2 GÜVEN ARALIKLARI: ( 1s 2 X σ 2 χ 2 1 olduğuda hareketle σ 2 i %100(1 α güve aralığı tahmi edicisi şöyle buluur: ( 1 α = P χ 2 1,1 α/2 < χ2 1 < χ 2 1,α/2 ( = P χ 2 1,1 α/2 < ( 1s2 X < χ 2 1,α/2 = P ( ( 1s 2 X χ 2 1,α/2 σ 2 < σ 2 < ( 1s2 X χ 2 1,1 α/2 Belli bir öreklem bilgisie dayaa σ 2 i %100(1 α güve aralığı ( 1s 2 x χ 2 1,α/2 < σ 2 < ( 1s2 x χ 2 1,1 α/2

5 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 9 NORMAL DAĞILMIŞ İKİ ANAKÜTLENİN ORTALAMALARI ARASINDAKİ FARKIN GÜVEN ARALIKLARI: Amaç: İki farklı aakütlei ortalamaları arasıdaki farkı karşılaştırmak. Güve aralığı oluşturmak içi iki aakütlede birer rassal öreklem seçilir. Bu öreklemi seçim süreci güve aralığıı bulmak içi kullaılacak yötemi belirler. 1. EŞLENİK ÇİFTLER: Öreklem gözlemleri, her biri birer aakütlede çiftler halide çekilir. Örek: bir hızlı okuma kursuu etkiliği. Kursta öceki ve soraki dakikada okua kelime sayısıı karşılaştırılması 2. BAĞIMSIZ ÖRNEKLEMLER: Öreklemler iki aakütlede birbiride bağımsız olarak çekilir. Örek: İki farklı satıcıda gele kimyasal maddeleri etki madde içeriğii karşılaştırılması. YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 10 EŞLENİK ÇİFTLERE DAYALI GÜVEN ARALIKLARI: Ortalamaları µ X ve µ Y ola iki aakütlede (x 1, y 1,(x 2, y 2,...,(x, y ile gösterile tae eşleik gözlem çiftide oluşa rassal bir öreklem çekmiş olalım. Aakütle ortalamaları arasıdaki farkı (µ X µ Y güve aralığıı bulmak istiyoruz. Bu amaçla öreklem çiftleri arasıdaki farkları d i = x i y i ile gösterelim. Bu durumda elimizde tae fark olacaktır: d 1,d 2,...,d. Bu farkları ortalama ve stadart sapmasıı d ve s d ile gösterelim. Farkları aakütle dağılımı ormal sayılırsa (µ X µ Y içi %100(1 α güve aralığı şöyle buluur: d t 1,α/2 s d < µ X µ Y < d + t 1,α/2 s d Burada t 1,α/2 eşitliğii sağlar. P(t 1 > t 1,α/2 = α 2

6 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 11 BAĞIMSIZ ÖRNEKLEMLERE DAYANAN GÜVEN ARALIKLARI: Ortalaması µ X, varyası σ 2 X ola aakütlede x gözlemli rassal bir öreklem, ortalaması µ Y, varyası σ 2 Y ola aakütlede y gözlemli bağımsız bir rassal öreklem çekmiş olalım. Öreklemdeki ortalamaları sırasıyla, X ve Y ile gösterelim. 1. DURUM: İki aakütle bilie varyaslarla ormal dağılıyor ya da her bir öreklemdeki gözlem sayısı yeterice büyük (mi. x, y 30. Bu varsayımlar altıda öreklem ortalamaları arasıdaki farkı X Y beklee değer ve varyası: E(X Y = E(X E(Y = µ X µ Y V ar(x Y = V ar(x + V ar(y = σ2 X x + σ2 Y y Ortalamalar arasıdaki fark yukarıda türetile ortalama ve varyas ile ormal YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 12 dağılır. Öyleyse aşağıdaki rassal değişke Z = (X Y (µ X µ Y σ 2 X x + σ2 Y y stadart ormal dağılıma uyar. Öyleyse (µ X µ Y içi %100(1 α güve aralığı şöyle buluur: σx 2 (x y z α/2 + σ2 Y σx 2 < µ X µ Y < (x y + z α/2 + σ2 Y x y x y σx 2 ve σ2 Y bilimiyor fakat öreklemler yeterice büyükse buları yerie öreklem varyasları koabilir: s (x y z 2 x α/2 + s2 y s < µ X µ Y < (x y + z 2 x α/2 + s2 y x y x y Bu yakısama büyük öreklemler içi aakütle ormal dağılıma uymasa bile geçerlidir. (ÖRNEK 8.9 s. 337, 8.10, s. 338

7 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 13 BAĞIMSIZ ÖRNEKLEMLERE DAYANAN GÜVEN ARALIKLARI: 2. DURUM: Aakütle varyasları bilimiyor ya da öreklemler yeterice büyük değil. Varsayım: iki aakütle varyası birbirie eşit. Ortalamaları µ X ve µ Y ola iki ormal aakütlede x ve y gözlemli bağımsız öreklemler aldığımızı, bu aakütleleri ayı (bilimeye σ 2 varyasa sahip olduklarıı düşüelim. Bu varsayımlar altıda öreklem ortalamaları arasıdaki fark varyası: V ar(x Y = V ar(x + V ar(y ola ormal bir dağılıma uyar. = σ2 x + σ2 y = σ 2 ( 1 x + 1 y ( = σ 2 x + y x y YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 14 BAĞIMSIZ ÖRNEKLEMLERE DAYANAN GÜVEN ARALIKLARI: Böylece Z = (X Y (µ X µ Y ( N(0,1 σ 2 x + y x y rassal değişkei stadart ormal dağılıma uyar. σ 2 i tahmii: aakütle varyasıı ortak olduğuu varsaydığımızda, her iki öreklem bilgisi bir araya getirilerek aşağıdaki tahmi edici kullaılabilir: s 2 = ( x 1s 2 x + ( y 1s 2 y ( x + y 2 Bilimeye varyas σ 2 yerie yukarıdaki tahmi edici koursa t = (X Y (µ X µ Y ( x + s y x y rassal değişkei ( x + y 2 serbestlik derecesi ile t dağılımıa uyar.

8 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 15 Aakütle varyaslarıı bilimediği, öreklemleri de yeterice büyük olmadığı durumda, varyasları birbirie eşit olduğu varsayımı yapılabiliyorsa, (µ X µ Y içi %100(1 α güve aralığı şöyle buluur: (x (x + y + y (x y t x + y 2,α/2s < µ X µ Y < (x y+t x + x y 2,α/2s y x y Burada ve t x + y 2,α/2 ise s 2 = ( x 1s 2 x + ( y 1s 2 y ( x + y 2 P(t x + y 2 > t x + y 2,α/2 = α 2 eşitliğii sağlaya sayıdır. (ÖRNEK 8.11 s. 341 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 16 İKİ ANAKÜTLE ORANLARI ARASINDAKİ FARKIN GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE: Başarı oraı p X ola bir aakütlede çekile x gözlemli rassal bir öreklemi öreklem ortalamasıı p; başarı oraı p Y ola bir aakütlede çekile y gözlemli rassal bir öreklemi de öreklem ortalamasıı p y olarak gösterelim. Aakütle başarı oraları arasıdaki fark (p X p Y ile ilgilediğimizde buu tahmi etmekte ( p X p Y tahmi edicisii kullaacağımız açıktır. Bu tahmi edicii baklee değer ve varyası: E( p X p Y = E( p X E( p Y V ar( p X p Y = V ar( p X + V ar( p Y = p X(1 p X x + p Y (1 p Y y olur. Öreklemleri birbiride bağımsız çekildiğie dikkat edi.

9 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 17 İKİ ANAKÜTLE ORANLARI ARASINDAKİ FARKIN GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE: Öreklemler yeterice büyükse bilimeye aakütle oraları yerie öreklem oraları yazılarak iyi bir yakısama sağlaabilir. Bu varsayımlar altıda aşağıdaki rassal değişke Z = ( p X p Y (p X p Y px (1 p X x + p Y (1 p Y y stadart ormal dağılıma uyar. (p X p Y içi %100(1 α güve aralığı p x (1 p x ( p x p y ± z α/2 + p y(1 p y x y ile buluur. (ÖRNEK 8.12, s. 344 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 18 ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TAHMİNİ: Belirli bir güve düzeyide daha dar bir güve aralığı elde etmei bir yolu daha fazla gözlem toplamak, yai gözlem sayısıı ( arttırmaktır. Bazı durumlarda güve aralığıı geişliği öcede saptaır ve buu sağlamaya yetecek büyüklükte öreklem çekilir. Problem aslıda oldukça basittir. Bir güve aralığı verilmişse bilimeye olarak düşüülebilir. Güve aralığı öreklem büyüklüğü çevreside eşit iki parçada oluştuğuda bu parçalarda herhagi birii içi çözümüyle istee gözlem sayısı elde edilebilir. Örek: ormal dağılımı ortalaması içi güve aralıkları, varyas biliiyor. µ içi güve aralığıı olduğuu daha öce görmüştük. x z α/2 σ < µ < x + z α/2 σ

10 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 19 ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TAHMİNİ: Bu güve aralığı x etrafıda L = z α/2σ kadar uzaır. Buu içi çözümüde elde edilir. = z2 α/2 σ2 L 2 ÖRNEK: Bir sıai süreçte üretile metal çubukları boyları, stadart sapması 1.8 mm ola bir ormal dağılıma uymaktadır. 9 gözlemli bir örekleme dayaarak aakütle ortalaması içi %99 güve aralığı < µ < olarak bulumuştur. Öreklem ortalamasıı her iki yaıda e çok 0.5 mm uzaa ayı düzeyde bir güve aralığıa ulaşabilmek içi öreklem büyüklüğü e olmalıdır? YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 20 Verileler: L = 0.5, σ = 1.8, z = Öyleyse gözlem büyüklüğü yai e az 86 olur. = z2 α/2 σ2 L 2 = 85.93

11 YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 21 ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TAHMİNİ: Aakütle oraıı aralıkları: Aakütle başarı oraı p içi %100(1 α güve aralığıı ˆp x z α/2 < p < ˆp x + z α/2 ile buluduğuu daha öce görmüştük. Bu aralık öreklem oraı ˆp x çevreside L = z α/2 kadar uzaır. Burada hareketle doğruda buluamaz. Çükü öreklem oraı bilgisi öcede saptaamaz. Acak L i alabileceği e yüksek değer buluabilir. ˆp x (1 ˆp x büyüklüğüü alabileceği e büyük değer 0.25 tir (ˆp x = 0.5 olduğuda. Öyleyse L i alabileceği e büyük değer: L = z α/ = 0.5z α/2 olur. Bir araştırmacıı öreklem oraıı her iki yaıda e çok L kadar uzaa güve aralığıı sağlayabilecek yeterice büyük bir öreklemi seçmek YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 22 istediğii düşüelim. Yukarıdaki ifadeyi içi çözersek buluur. = 0.25z2 α/2 L 2 ÖRNEK: Üiversite mezularıı işe alımasıda bitirme otuu çok öemli olduğuu düşüe firma yöeticilerii aakütle içideki oraıı bir %95 güve aralığı < p < olarak bulumuştur. Buu yerie aakütle oraıı öreklem oraıı her iki yaıda e çok 0.06 uzaya %95 güve aralığı içi kaç olmalıdır? Verileler: L = 0.06, z α/2 = z = Öyleyse öreklemdeki gerekli gözlem sayısı = 0.25z2 α/2 L 2 yai e az 267 gözlem gereklidir. = 0.25(1.962 ( =